Paradoxurile lui Zenon si conceptul de limita

În aceasta lume capricioasa, nimic nu este mai capricios decât faima postuma. Una din victimele cele mai remarcabile ale lipsei de judecata a posteritatii este eleatul Zenon. Dupa ce a inventat patru argumente, toate nemasurat de subtile si de profunde, majoritatea filosofilor care i-au urmat au spus despre el ca este numai un sarlatan ingenios si ca argumentele sale nu sunt decât niste sofisme. Dupa doua mii de ani de respingere continua, aceste sofisme au fost repuse în drepturi, devenind temelia unei renasteri a matematicii prin tratarea conceptului de infinit…

Zenon a fost un filozof grec presocratic, din sudul Italiei, membru al scolii filozofice din Elea, întemeiata de Parmenide. A trait în secolul al cincilea î. Hr. si ne-a lasat mostenire câteva paradoxuri foarte profunde a caror rezolvare ne invita sa meditam asupra notiunilor de infinit si de miscare. A fost numit de Aristotel fondatorul dialecticii (forma veche de gasire a adevarului, cunoscuta si drept arta interlocutiunii).

Zenon a formulat mai multe rationamente, cunoscute ca „Paradoxurile lui Zenon”, pentru  a sustine ideile mentorului sau Parmenide despre numere sau despre miscare. Paradoxurile sunt argumente aparent corecte care duc la concluzii ce sunt în mod evident false. Provocarea este de a se descoperi ce anume s-a gresit în aceste rationamente. Nici una dintre scrierile lui Zenon nu a ajuns în mod direct la noi, ci doar povestite si repovestite de alti filosofi greci. 

Primul paradox

Argumentul încearca sa demonstreze ca miscarea dintr-un punct în altul este imposibila. Un om pleaca de la borna ce indica 0 km la borna ce indica 1 km. Zenon spune: Ca sa parcurga aceasta distanta de un kilometru, omul parcurge mai întâi jumatate de kilometru (adica jumatate din distanta totala), apoi jumatate din distanta ramasa, apoi jumatate din distanta care i-a mai ramas si tot asa, astfel ca niciodata nu va ajunge la final, pentru ca aceasta diviziune ar putea exista la infinit. Încerca astfel Zenon sa refuze ideea ca exista infinitul cu adevarat?

Al doilea paradox

Cel de-al doilea paradox al lui Zenon, „Ahile si broasca testoasa”, încearca sa demonstreze concluzia conform careia cel care alearga mai repede nu îl va întrece niciodata pe cel care alearga mai încet. Aceasta va fi sustinuta si de Aristotel în „Physica” doua secole mai târziu.

Sa ne imaginam o întrecere între celebrul atlet Ahile si un rival mai lent, transformat de legenda într-o broasca testoasa (la acea vreme broasca testoasa era simbolul întelepciunii). Sa presupunem ca Ahile are o viteza de doua ori mai mare decât cea a testoasei. Testoasa are un avans de 1 km fata de Ahile (acesta plecând din origine). Oricine va trage concluzia ca peste 2 km Ahile va ajunge testoasa.

Folosindu-se de paradoxul prezentat anterior, Zenon ne spune altceva: când Ahile ajunge la 1 km, testoasa a ajuns la 1 km si jumatate, iar când Ahile ajunge la 1 km si jumatate, broasca a ajuns la 1 km si trei sferturi si asa mai departe, astfel ca niciodata Ahile nu va reusi sa întreaca broasca testoasa.

Ahile si testoasa (1)

Ahile si testoasa (2)
Ahile si testoasa (3)

Al treilea paradox

Al treilea paradox, cunoscut ca fiind „paradoxul sagetii”, ne spune ca o sageata aflata în miscare între punctele A si B nu se afla la un moment dat nici în punctul A, pentru ca a plecat de acolo, nici în punctul B, ca n-a ajuns înca acolo. Daca reduci distanta AB la lungimea sagetii, înseamna ca sageata este, de fapt, în repaus. Cum concluzia este evident falsa, este vorba de un paradox din domeniul logicii.

Concluzie

Motto: „În timp ce exista indicii subtile despre infinit în lucrurile pe care le facem si le vedem, exista de asemenea si paradoxuri profunde ce se afla foarte aproape de suprafata lucrurilor” (Sir John D. Barrow).

Paradoxurile sunt în strânsa legatura cu ceea ce noi numim infinit, tema ce i-a provocat deopotriva pe teologi si pe oamenii de stiinta, care încearca sa hotarasca daca îl acceptam sau îl respingem. Exista infinit în natura sau reprezinta doar un numar foarte mare? Este real sau este doar ceva teoretic, este „prescurtarea” pentru nemarginit, pentru foarte mare sau foarte mic? Albert Einstein spunea: „Doua lucruri sunt infinite: Universul si prostia umana, însa nu sunt sigur în legatura cu primul”.

Si totusi putem vorbi de limita?

Pâna la cât putem numara? O mie, un milion, un miliard? Putem sa nascocim un numar oricât de mare si totusi putem aduna o unitate obtinând astfel un numar si mai mare.

Ne putem întreba atunci: exista o limita pâna unde putem numara?

Raspunsul este negativ, deoarece sirul numerelor naturale – adica 1, 2, 3 etc… nu are o limita, ci continua la nesfârsit. Matematicienii vorbesc în acest caz despre un sir de numere care este nemarginit sau tinde la infinit. Conceptul de limita exista doar împreuna cu conceptul de sir de numere care cresc sau descresc conform unei relatii între termenii sai. Faptul ca limita unui astfel de sir, numit convergent, este finita – adica 1 sau 2009 – sau infinita, nu este relevant. Întrebarea este daca sirurile convergente îsi ating limita sau nu.

 

 

Bogdan

Per aspera ad astra